Clase 3  

Representación gráfica de los números complejos 

los números complejos se representan gráficamente de las siguiente forma: 

 sea  z = a + bi

Clase 2

  OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NÚMEROS COMPLEJOS

  Al efectuar operaciones con números complejos podemos proceder como en el álgebra de números reales, reemplazando i^2   por -1.

Adición: 

 (a + bi) + ( c + di  ) = ( a + c) + ( b+d )i

Sustracción 

(a + bi) - ( c + di  ) = ( a - c) + ( b - d )i

Multiplicación 

(a + bi) .( c + di  )= ( ac-bd ) + (  ad + bc)i

Clase 1

    

EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

             No existe un número real  que satisfaga la ecuación polinómica , para resolver este tipo de ecuaciones es necesario introducir los números complejo. Consideramos un número complejo como una expresión de la forma   donde  y  son números reales e  denominada la unidad imaginaria, con la propiedad de que .

           Si ,   se llama parte real de  y  la parte imaginaria de  y se denotan por  e , respectivamente. El símbolo , que puede representar cualquier elemento del conjunto de números complejos, es llamado una variable compleja.

            Dos números complejos  y  son iguales si y solamente si  y , consideramos los números reales como el subconjunto del conjunto de los números complejos con . 

En este caso por ejemplo, los números complejos     representa el número real 0.  Si , el número complejo  o   se llama un numero imaginario puro.

Definición

El conjugado complejo, o conjugado  de un numero complejo   es . El conjugado complejo de un número complejo  se indica por z y una barrita sobre z.

Los Números Complejos

                                                             

                                                     Los Números Complejos 

 Los números complejos es un tema que ha sido muy poco estudiado en las distintas etapas de la educación, tanto a nivel básico y diversificado en la universidad. Al estudiar los números complejos nos damos cuenta que es un sistema muy importante, porque integra varias ramas de la matemática como lo son la trigonometría, la geometría y el álgebra, entonces resulta bastante interesante indagar un poco más acerca de este tema, comenzando por su historia.

Isaac Asimov en su libro “De los números y su historia”, relata una historia en la que un profesor de Sociología en su clasificación de la humanidad agrupó a los matemáticos entre los místicos junto con los poetas y los teólogos, ya que para él los matemáticos son místicos porque creen en números que no tienen realidad, para explicarlo dijo lo siguiente, “La raíz cuadrada de menos uno no tiene existencia  los matemáticos lo llaman imaginario, pero de alguna manera mística creen que tiene alguna clase de existencia”,  la verdad es que no hay nada de místico en ellos, son tan reales como cualquier otro.

Los números complejos fueron ignorados al inicio por ser para la mayoría un poco extraños y difíciles de representar, al comienzo los hombres solamente aceptaban los números naturales por ser los más adecuados para contar objetos que comúnmente se consideran como unidades.

Sin embargo al medir magnitudes como la longitud o el peso las fracciones se hicieron imprescindibles, los egipcios y babilonios se las arreglaron para elaborar métodos que les permitieron operar con fracciones.

Los griegos descubrieron que había cantidades definidas que no podían ser expresadas como cocientes de números enteros, la noción de número  se extiende más allá ya que los griegos no aceptaban que hubiera números menores que el cero. Los números complejos aparecen entre las soluciones de las ecuaciones cuadráticas que generan raíces cuadradas de números negativos los cuales no poseen soluciones reales, los matemáticos griegos que conocían métodos geométricos de resolución, consideraban estos problemas irresolubles, el surgimiento de los números complejos no se debió solo a la imposibilidad de resolver algunas ecuaciones cuadráticas, sino que viene también de las ecuaciones cúbicas, más adelante con el surgimiento del álgebra durante la edad media, el concepto de número se amplía para manipular ecuaciones, desligadas de la geometría.

 Leonhar Euler matemático y físico suizo intentó comprender qué eran realmente los números complejos y en su "Vollständige Auleitung zur Algebra" (Introducción Completa al Algebra) que apareció primero en Rusia en 1768-1769 y en Alemania en 1770,  que es el mejor texto de álgebra del siglo XVIII  dice: "Puesto que todos los números concebibles son mayores que cero, menores que cero o iguales a cero, está claro que las raíces cuadradas de números negativos no pueden ser incluidas entre los números posibles (reales).

En consecuencia debemos decir que son números imposibles y esta circunstancia nos lleva al concepto de tales números que por su naturaleza son imposibles y ordinariamente se les llama imaginarios o ideales, porque existen sólo en la imaginación".

En 1777  Leonhar  Euler introdujo el símbolo (por imaginario), que después se adoptó de manera general,  de modo que podemos escribir,  “i ” para expresar la raíz cuadrada de cualquier número negativo, cualquier número que combine unidades reales e imaginarias se denomina “complejo”.